Valeur approchée de π par la méthode de Buffon

(actualisé le )

Le Comte de Buffon, un scientifique du XVIII connu pour son oeuvre "L’histoire naturelle" a aussi réalisé des travaux mathématiques.

Par exemple, il se proposait de déterminer la probabilité qu’une aiguille jetée aléatoirement sur un parquet se retrouve à cheval sur deux lames de ce parquet. Cette probabilité s’exprime en fonction de π (voir les explications ci-dessous) ce qui nous permet d’envisager une estimation de π en simulant un grand nombre de lancers d’aiguilles sur des lames de parquet.

Cliquez ici pour démarrer le simulateur.
Vous aurez à choisir :

  • Obligatoire : le nombre de lames de parquet.
  • Facultatif : le nombre d’aiguilles.

A chaque instant vous pouvez mettre en pause la simulation pour lire l’estimation en cours. Si vous ne précisez pas le nombre d’aiguilles, la simulation sera infinie.
Le simulateur s’adaptera à la taille de l’écran de votre appareil.

Explications
Si a est la longueur d’une aiguille et ℓ la largeur d’une lame et a≤ℓ alors cette probabilité est égale à 2a/πℓ.

En particulier si on choisit une aiguille dont la longueur est égale à la largeur d’une lame de parquet (a=ℓ) alors après simplification la probabilité devient 2/π. Cet article propose une simulation basée sur ce cas particulier.
Dans la simulation proposée, on cherche à estimer une valeur approchée du nombre π en effectuant un "grand nombre" N de lancers d’aiguilles. En comptant le nombre n d’aiguilles à cheval sur deux lames on obtient π~2×N/n.