Simulateur de marches aléatoires

(actualisé le )

UNE SIMULATION EN DIMENSION 1

Une expérience aléatoire à plusieurs épreuves : on se propose d’effectuer plusieurs lancers d’une pièce de monnaie. Si on tombe sur PILE on gagne la valeur de la pièce sinon on la perd (ex : si je lance une pièce de 2 euros alors PILE me rapportera 2€ et FACE -2€).
On considère que la pièce est équilibrée, c’est à dire qu’on a autant de chance de tomber sur chacune des deux issues possibles : PILE et FACE sont équiprobables avec une probabilité égale à 50%. Après chaque lancer, on cumule les gains réalisés.

La question posée : est-on certain de retrouver après plusieurs lancers nos 0€ de départ ?

La réponse : oui à condition de lancer la pièce un nombre de fois suffisamment grand.

La simulation : Cliquez pour démarrer des simulations.

Les paramètres de la simulation : vous aurez à choisir la taille de l’axe des abscisses : un multiple de la largeur de votre écran qui indiquera le nombre de lancers. Par exemple si votre écran mesure 1280 pixels de large et que vous choisissez 2 alors le nombre de lancers sera égal à 2560.
Et vous pouvez choisir d’effectuer plusieurs simulations en même temps.

Aller plus loin : cette expérience s’appelle une marche aléatoire en dimension 1. Pour comprendre l’analogie avec l’idée de marche, rendez-vous sur le site "images de maths" : le modèle du marcheur ivre et cet article du même site.

UNE SIMULATION EN DIMENSION 2

Le même type d’expérience aléatoire : considérons à nouveau notre marcheur ivre et donnons lui la possibilité de se déplacer en dimension 2. A chaque pas, il a la même probabilité (25%) de le faire dans les quatre directions : Est, Ouest, Nord et Sud.

La même question se pose : est-on certain que le marcheur ivre repassera par son point de départ en un temps fini ?

La même réponse : oui après un nombre de pas aléatoires suffisamment grand, il repassera par son point de départ. Il faudra donc le conserver ivre assez longtemps ...

La simulation : Cliquez pour démarrer des simulations.

Les paramètres de la simulation : vous aurez à choisir le nombre de marches aléatoires, le nombre de pas et la taille du pas en pixels. A l’affichage, le point de départ D est centré horizontalement en bas de l’écran et le point d’arrivée est nommé A. Il faudra souvent faire défiler horizontalement et verticalement l’écran pour voir la marche dans son intégralité.

Vous trouverez en bas de page des copies d’écran de marches aléatoires simulées avec différents paramètres. En particulier des marches aléatoires avec un grand nombre de pas qui rappellent le mouvement brownien d’une particule.

Et dans un environnement en 3 dimensions ? : si le marcheur ivre évolue dans un environnement en 3D alors le résultat n’est plus vrai, il peut s’éloigner à l’infini de son point de départ sans jamais y repasser : déconseillons les sorties d’une station spatiale aux astronautes trop fêtards ... il est grave E.T ...

UNE DERNIERE SIMULATION en 2D sous contrainte

L’expérience aléatoire : imaginons que notre marcheur ivre ne repassera jamais par un endroit déjà visité dans la ville. La marche obtenue est alors dite auto-évitante.

La simulation : Cliquez pour démarrer des simulations.

Les paramètres de la simulation : vous aurez à choisir la taille du pas de la marche et la zone de départ. La cadre de la marche est représenté par un rectangle rouge. On dira qu’une marche n’a pas abouti lorsque le marcheur est repassé par un endroit déjà visité.

Et en dimension 3 ?

Dans l’espace (un environnement 3D), un insecte (ou une particule etc ...) qui se déplace aléatoirement (6 positions équiprobables à chaque pas) n’a pas la certitude de repasser par son point de départ. (La probabilité est inférieure strictement à 1). Le théorème de Pólya démontre que cette probabilité est environ égale à 0,34.

Le site du CNRS propose un simulateur. La souris vous permet de visualiser le résultat dans différentes directions.